詳解
設拋物線函數為 $f(x) = x^2$，其導函數為 $f'(x) = 2x$。
1. 求切線 $L$ 的方程式：
已知 $P$ 點的橫坐標為 $a$，則其坐標為 $P(a, a^2)$。
切線 $L$ 在 $P$ 點的斜率為 $f'(a) = 2a$。
因為點斜式方程式的斜率為 $2a$，所以切線 $L$ 的點斜式方程式為：
$$y - a^2 = 2a(x - a) \implies y = 2ax - a^2.$$
2. 求切線 $L$ 與 $x$ 軸的交點 $R$：
令 $y = 0$，得 $2ax - a^2 = 0$，解得 $x = \frac{a}{2}$。故交點為 $R\left(\frac{a}{2}, 0\right)$。
3. 求圍成區域的面積：
由圖形可知，所求區域由拋物線 $\Gamma$、切線 $L$ 及 $x$ 軸所包圍。
設 $P$ 點在 $x$ 軸上的投影點為 $Q(a, 0)$。
所求面積可表示為：拋物線下方（自 $0$ 至 $a$）的面積，減去直角三角形 $\triangle PQR$ 的面積：
$$\text{面積} = \int_{0}^{a} x^2 \, dx - \text{Area}(\triangle PQR)$$
- 計算定積分（曲線下方總面積）：
$$\int_{0}^{a} x^2 \, dx = \left. \dfrac{x^3}{3} \right|_{0}^{a} = \dfrac{a^3}{3}$$
- 計算三角形 $\triangle PQR$ 的面積：
底為 $\overline{RQ} = a - \frac{a}{2} = \frac{a}{2}$，高為 $\overline{PQ} = a^2$。
$$\text{Area}(\triangle PQR) = \dfrac{1}{2} \times \overline{RQ} \times \overline{PQ} = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{a}{2} \times a^2 = \dfrac{a^3}{4}$$
- 計算圍成之淨面積：
$$\text{面積} = \dfrac{a^3}{3} - \dfrac{a^3}{4} = \dfrac{a^3}{12}$$
答案為 $\frac{1}{12}a^3$。
拋物線與切線所圍面積示意圖