詳解
1. 拋物線方程式為
$$
\begin{aligned}
ay&=a^2-x^2\implies y=a-\dfrac{x^2}{a},\\
y'&=-\dfrac{2x}{a}.
\end{aligned}
$$
已知 $P(s,t)$ 在拋物線上且 $s>0$，故
$$
P\left(s,a-\dfrac{s^2}{a}\right).
$$
過 $P$ 的切線方程式為
$$
y-\left(a-\dfrac{s^2}{a}\right)
=-\dfrac{2s}{a}(x-s).
$$
2. 令切線分別交 $x$ 軸、$y$ 軸於 $Q$、$R$。令 $x=0$，得
$$
\begin{aligned}
OR&=a+\dfrac{s^2}{a},\\[4pt]
R&=\left(0,a+\dfrac{s^2}{a}\right).
\end{aligned}
$$
令 $y=0$，得
$$
\begin{aligned}
2sx&=a^2+s^2,\\[4pt]
OQ&=\dfrac{a^2+s^2}{2s},\\[4pt]
Q&=\left(\dfrac{a^2+s^2}{2s},0\right).
\end{aligned}
$$
因此三角形 $OQR$ 的面積為
$$
F(s)=\dfrac12\overline{OQ}\,\overline{OR}
=\dfrac{(a^2+s^2)^2}{4as}.
$$
3. 微分得
$$
F'(s)=\dfrac{(a^2+s^2)(3s^2-a^2)}{4as^2}.
$$
因為 $a>0$ 且 $s>0$，唯一極小點滿足
$$
3s^2-a^2=0\implies s=\dfrac{a}{\sqrt3}.
$$
代入得最小面積
$$
F\left(\dfrac{a}{\sqrt3}\right)
=\dfrac{4\sqrt3}{9}a^2.
$$
解析圖：拋物線切線圍成三角形示意圖