87大學聯考數學（自然組）非選第12題詳解

1. 展開等式兩邊並比較係數： $$ \begin{aligned} (13x+a)^2 &=169x^2+26ax+a^2,\\[4pt] (12x+b)^2+(5x+c)^2 &=169x^2+(24b+10c)x+(b^2+c^2). \end{aligned} $$ 因此 $$ \begin{aligned} 26a&=24b+10c\implies 13a=12b+5c,\\[4pt] a^2&=b^2+c^2. \end{aligned} $$ 2. 將第一式平方並代入第二式： $$ \begin{aligned} 169a^2&=(12b+5c)^2,\\[4pt] 169(b^2+c^2)&=144b^2+120bc+25c^2,\\[4pt] (5b-12c)^2&=0\implies b:c=12:5. \end{aligned} $$ 因為 $\gcd(b,c)=2$，所以 $(b,c)=(24,10)$。 3. 代入 $a^2=b^2+c^2$： $$ a^2=24^2+10^2=26^2. $$ 因為 $a$ 為正整數，故 $(a,b,c)=(26,24,10)$。