87大學聯考數學（自然組）選填第11題詳解

1. 設 $f(x)=x^{1/3}$。在 $x=8$ 處， $$ \begin{aligned} f(8)&=2,\\ f'(x)&=\dfrac{1}{3}x^{-2/3}\implies f'(8)=\dfrac{1}{12}. \end{aligned} $$ $$ f''(x)=-\dfrac{2}{9}x^{-5/3}\implies f''(8)=-\dfrac{1}{144}. $$ 2. 二次泰勒近似為 $$ P_2(x)=f(8)+f'(8)(x-8)+\dfrac{f''(8)}{2!}(x-8)^2 =2+\dfrac{1}{12}(x-8)-\dfrac{1}{288}(x-8)^2. $$ 代入 $x=7$，得 $$ \sqrt[3]{7}\approx P_2(7) =2-\dfrac{1}{12}-\dfrac{1}{288} =\dfrac{551}{288}. $$