90大學聯考數學（自然組）單選第4題詳解

因為函數 $g(x)$ 在 $x=0$ 附近的泰勒展開式為： $$g(x) = g(0) + g'(0)x + \dfrac{g''(0)}{2!}x^2 + \dfrac{g'''(0)}{3!}x^3 + \dots$$ 其三次近似為 $T_3(x) = g(0) + g'(0)x + \frac{g''(0)}{2}x^2 + \frac{g'''(0)}{6}x^3$。 對於各選項，檢驗在 $x=0$ 附近的三次近似： 對於 $(5)$ $g(x) = \sin x \cdot \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$： - $g(0) = 0$ - $g'(x) = \cos 2x \implies g'(0) = 1$ - $g''(x) = -2\sin 2x \implies g''(0) = 0$ - $g'''(x) = -4\cos 2x \implies g'''(0) = -4$ 所以其三次近似為： $$T_3(x) = 0 + x + 0 - \dfrac{4}{6}x^3 = x - \dfrac{2}{3}x^3$$ 這與 $f(x)$ 相符，故選 $(5)$。