90大學聯考數學（自然組）多選第5題詳解

因為設 $P(0,0)$，$Q(a,b)$，其距離平方為 $\overline{PQ}^2 = a^2 + b^2$。 對各點檢驗是否與 $P, Q$ 形成等腰三角形（且三點不共線）： - 對於 $(1)$ $A(b,a)$： $$\overline{PA}^2 = b^2 + a^2 = \overline{PQ}^2 \implies \overline{PA} = \overline{PQ}$$ 當 $a \neq b$ 時 $P, Q, A$ 不共線，可形成以 $A$ 為頂點的等腰三角形。 - 對於 $(2)$ $B(-b,a)$： $$\overline{PB}^2 = (-b)^2 + a^2 = \overline{PQ}^2 \implies \overline{PB} = \overline{PQ}$$ $P, Q, B$ 不共線，可形成等腰三角形。 - 對於 $(3)$ $C(a-b,b-a)$： $$\overline{CQ}^2 = (a-b-a)^2 + (b-a-b)^2 = (-b)^2 + (-a)^2 = a^2+b^2 = \overline{PQ}^2 \implies \overline{CQ} = \overline{PQ}$$ $P, Q, C$ 不共線，可形成等腰三角形。 - 對於 $(4)$ $D(0,2b)$： $$\overline{DQ}^2 = (0-a)^2 + (2b-b)^2 = a^2 + b^2 = \overline{PQ}^2 \implies \overline{DQ} = \overline{PQ}$$ $P, Q, D$ 不共線，可形成等腰三角形。 - 對於 $(5)$ $E(2a,0)$： $$\overline{EQ}^2 = (2a-a)^2 + (0-b)^2 = a^2 + b^2 = \overline{PQ}^2 \implies \overline{EQ} = \overline{PQ}$$ $P, Q, E$ 不共線，可形成等腰三角形。 所以故五個選項之點均可選為第三點，選 $(1)(2)(3)(4)(5)$。