90大學聯考數學（自然組）多選第6題詳解

因為題目總數共有 $100$ 題，所以滿足： $$R + W + N = 100 \implies N = 100 - R - W$$ 將 $N$ 代入 $Y$ 得： $$Y = R + \dfrac{100 - R - W}{5} = \dfrac{4}{5}R - \dfrac{W}{5} + 20$$ 觀察 $X = R - \frac{W}{4} \implies \frac{4}{5}X = \frac{4}{5}R - \frac{W}{5}$。 由此可知 $X$ 與 $Y$ 的關係為： $$Y = \dfrac{4}{5}X + 20$$ - 對於 $(1)$： $$Y - X = \left(\dfrac{4}{5}X + 20\right) - X = 20 - \dfrac{X}{5}$$ 因為 $X = R - \frac{W}{4} \le 100 \implies 20 - \frac{X}{5} \ge 0 \implies Y \ge X$，故同一學生的 $X$ 分數不可能大於 $Y$ 分數，此選項正確。 - 對於 $(2)$： 對全班求平均數：$\mu_Y = \frac{4}{5}\mu_X + 20$。同理，因 $\mu_X \le 100$，故 $\mu_Y \ge \mu_X$，此選項正確。 - 對於 $(3)$： 設兩學生的分數分別為 $X_1, X_2$ 與 $Y_1, Y_2$，則： $$|Y_1 - Y_2| = \dfrac{4}{5}|X_1 - X_2|$$ 因為 $\frac{4}{5} < 1$，所以 $|X_1 - X_2| > |Y_1 - Y_2|$ 是可能的，此選項錯誤。 - 對於 $(4)$： 因為 $Y = \frac{4}{5}X + 20$ 中，斜率 $\frac{4}{5} > 0$，所以 $Y$ 隨 $X$ 的增加而單調遞增，排名結果完全相同，此選項正確。 - 對於 $(5)$： because $X$ 與 $Y$ 之間為完全正線性關係，所以兩種分數的相關係數為 $1$，此選項正確。 故正確的敘述為 $(1)(2)(4)(5)$。