102指考數學乙多選第3題詳解

因為兩點 $(4,1)$ 與 $(5,9)$ 位在直線 $3x-y-k=0$ 的兩側，表示代入直線方程式後的正負號相反： $(3 \cdot 4 - 1 - k)(3 \cdot 5 - 9 - k) < 0 \implies (11-k)(6-k) < 0 \implies (k-6)(k-11) < 0$ 得整數 $k$ 的範圍為 $6 < k < 11$，即 $k \in \{7, 8, 9, 10\}$。 各選項分析如下： $(1)$ 滿足條件的整數 $k$ 只有 $4$ 個，所以$(1)$錯誤。 $(2)$ 總和為 $7+8+9+10 = 34$，所以$(2)$錯誤。 $(3)$ 最小的 $k$ 是 $7$，所以$(3)$正確。 $(4)$ 平均值為 $\frac{34}{4} = 8.5$，所以$(4)$錯誤。 $(5)$ 奇數有 $\{7,9\}$（共 $2$ 個），偶數有 $\{8,10\}$（共 $2$ 個），個數相同，所以$(5)$正確。 因此選 $(3)(5)$。