100指考數學乙非選第11題詳解

$(1)$ 聯立兩直線 $$\begin{cases}2x-y=0\\x+y=6\end{cases}$$ 得交點 $A(2,4)$。又 $2x-y=0$ 與 $x+y=0$ 的交點為 $O(0,0)$，所以菱形的邊長為 $$\overline{OA}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$$ $(2)$ 因為 $$\begin{cases}x+y\ge0\\x+y\le6\\2x-y\ge0\\y\ge ax-b\end{cases}$$ 的區域是菱形，所以 $y=ax-b$ 與 $y=2x$ 平行，故 $$a=2$$ 令菱形四個頂點為 $O,A,B,C$，且 $C$ 在直線 $x+y=0$ 上。設 $C(t,-t)$，$t>0$。因為菱形的四邊長相等，所以 $\overline{OC}=\overline{OA}$，得 $$\sqrt{t^2+(-t)^2}=2\sqrt{5}$$ 兩邊平方得 $$2t^2=20$$ 解得 $t=\sqrt{10}$。所以 $C(\sqrt{10},-\sqrt{10})$。將 $C$ 代入 $y=2x-b$，得 $$-\sqrt{10}=2\sqrt{10}-b$$ 故 $$b=3\sqrt{10}$$ 因此 $a=2$，$b=3\sqrt{10}$。