100指考數學乙非選第12題詳解

$(1)$ 若 $A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$ 為轉移矩陣，則 $a,b,c,d$ 須滿足 $$\begin{cases}0\le a,b,c,d\le1\\a+c=1\\b+d=1\end{cases}$$ $(2)$ 計算 $$A^2=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a^2+bc&ab+bd\\ac+cd&bc+d^2\end{bmatrix}$$ 因為 $0\le a,b,c,d\le1$，所以矩陣 $A^2$ 中的各元素均為非負實數。分別計算兩直行之和，得 $$(a^2+bc)+(ac+cd)=(a^2+ac)+(bc+cd)=a(a+c)+c(b+d)=a+c=1$$ $$(ab+bd)+(bc+d^2)=(ab+bc)+(bd+d^2)=b(a+c)+d(b+d)=b+d=1$$ 因此 $A^2$ 也滿足轉移矩陣的條件，故 $A^2$ 也是轉移矩陣。