87大學聯考數學（自然組）選填第10題詳解

解法一（微積分定義）： 圓方程式 $x^2 + y^2 = 16 \Rightarrow y = \pm \sqrt{16-x^2}$。 橢圓方程式 $\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{9} = 1 \Rightarrow y = \pm 3\sqrt{1-\dfrac{x^2}{16}} = \pm \dfrac{3}{4}\sqrt{16-x^2}$。 在 $x=1$ 到 $x=2$ 之間，圓內部的面積為： $$C = 2\int_{1}^{2} \sqrt{16-x^2}\,dx$$ 橢圓內部的面積為： $$E = 2\int_{1}^{2} \dfrac{3}{4}\sqrt{16-x^2}\,dx = \dfrac{3}{4} \left(2\int_{1}^{2} \sqrt{16-x^2}\,dx\right) = \dfrac{3}{4}C$$ 因此： $$\dfrac{C}{E} = \dfrac{C}{\frac{3}{4}C} = \dfrac{4}{3}$$ 解法二（伸縮變換）： 橢圓可以看作是圓 $x^2 + y^2 = 16$ 沿著 $y$ 軸方向收縮 $\dfrac{3}{4}$ 倍所得到的圖形。 由卡瓦列里原理（Cavalieri's principle）或積分比例性質： 對於任意給定的 $x$ 值，橢圓上的縱坐標高度均為圓上縱坐標高度的 $\dfrac{3}{4}$ 倍。 所以在相同的 $x$ 區間 $[1, 2]$ 內，橢圓的面積 $E$ 與圓的面積 $C$ 之比值為： $$\dfrac{E}{C} = \dfrac{3}{4} \Rightarrow \dfrac{C}{E} = \dfrac{4}{3}$$ 答案為 $\dfrac{4}{3}$。 解法三（面積元素比例）： 固定任一 $x\in[1,2]$。圓 $x^2+y^2=16$ 在此處的上下高度差為 $$2\sqrt{16-x^2}.$$ 橢圓 $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{9}=1$ 在同一個 $x$ 處的上下高度差為 $$2\cdot 3\sqrt{1-\dfrac{x^2}{16}}=\dfrac{3}{2}\sqrt{16-x^2}=\dfrac{3}{4}\cdot 2\sqrt{16-x^2}.$$ 所以每一條垂直小長條的高度都為圓中對應小長條的 $\dfrac{3}{4}$ 倍，面積也成同樣比例： $$E=\dfrac{3}{4}C.$$ 故 $$\dfrac{C}{E}=\dfrac{4}{3}.$$