90大學聯考數學（自然組）非選第12題詳解

因為直線 $y = x$ 與拋物線 $y = x(2-x)$ 的交點 $A, B$ 滿足聯立方程組： $$\begin{cases} y = x \\ y = x(2-x) \end{cases} \implies x = x(2-x) \implies x^2 - x = 0 \implies x(x-1) = 0$$ 解得 $x=0$ 或 $x=1$。在第一象限交點為 $A(1,1)$。 拋物線與 $x$ 軸的另一交點為 $C(2,0)$。 灰色部分的面積可以以 $x=1$ 為界，拆為兩部分： - 當 $0 \le x \le 1$ 時，為直線 $y=x$ 下方的三角形區域，面積為： $$\text{面積}_1 = \dfrac{1}{2} \times 1 \times 1 = \dfrac{1}{2}$$ - 當 $1 \le x \le 2$ 時，為拋物線與 $x$ 軸圍成的區域，面積為定積分： $$\text{面積}_2 = \int_{1}^{2} x(2-x) \, dx = \int_{1}^{2} (2x - x^2) \, dx = \left[ x^2 - \dfrac{x^3}{3} \right]_{1}^{2}$$ $$\text{面積}_2 = \left( 4 - \dfrac{8}{3} \right) - \left( 1 - \dfrac{1}{3} \right) = \dfrac{4}{3} - \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{3}$$ 所以因此，灰色區域的總面積為： $$\text{總面積} = \text{面積}_1 + \text{面積}_2 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{7}{6}$$