100指考數學甲選填第10題詳解

求切線 $L$：因為 $f'(x) = 12x^2 + 1$，所以在 $x = 1$ 處斜率 $m = f'$(1)$ = 13$。由點斜式： $$y - 3 = 13(x - 1) \implies y = 13x - 10.$$ 2. 求曲線與切線的交點： $$4x^3 + x - 2 = 13x - 10 \implies 4x^3 - 12x + 8 = 0 \implies 4(x-1)^2(x+2) = 0.$$ 交點在 $x = 1$（二重根，相切）與 $x = -2$。 3. 因為在區間 $[-2, 1]$ 上，$f(x) \ge 13x - 10$（曲線在切線上方），所以面積為 \begin{align*} A &= \int_{-2}^{1} 區間 $[f(x) - (13x - 10)]$\,dx = \int_{-2}^{1} (4x^3 - 12x + 8)\,dx \\ &= \left區間 $[x^4 - 6x^2 + 8x\right]$_{-2}^{1} \\ &= (1 - 6 + 8) - (16 - 24 - 16) = 3 - (-24) = 27. \end{align*} 故填 $27$。