100指考數學甲選填第9題詳解

1. 設甲、乙、丙三條生產線製造的手機占全部產量的比例分別為 $x, y, z$，滿足 $x + y + z = 1$ 且 $x, y, z \ge 0$。 2. 因為瑕疵品來自甲生產線的條件機率為 $$P(\text{甲} \mid D) = \frac{0.05x}{0.05x + 0.03y + 0.03z} = \frac{5x}{5x + 3y + 3z},$$ 所以依題意要求： $$\frac{5x}{5x + 3y + 3z} \le \frac{5}{12}.$$ 3. 因為 $y + z = 1 - x$，所以分母 $5x + 3(y+z) = 5x + 3(1-x) = 3 + 2x$。不等式化為 $$\frac{5x}{3 + 2x} \le \frac{5}{12} \implies 60x \le 5(3 + 2x) \implies 60x \le 15 + 10x \implies 50x \le 15 \implies x \le 0.3.$$ 4. 因為 $x = 0.3 = 30\%$ 時不等式取等號，所以甲生產線的產量至多占全部產量的 $30\%$。 故填 $30$。