99指考數學甲選填第11題詳解

1. 令事件 $A$：排第四位的人可以抽獎。這表示前 $3$ 次抽獎中，中獎人數 $\le 2$（活動未在前 $3$ 次結束）。因為每次抽中機率為 $\frac{1}{2}$，所以前 $3$ 次皆中的機率為 $\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}$。 $$P(A)=1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$$ 2. 令事件 $B$：排第五位的人可以抽獎。$A\cap B$ 表示前 $4$ 次抽獎中，中獎人數 $\le 2$（活動未在前 $4$ 次結束）。 前 $4$ 次中恰 $3$ 次中獎的機率：$C_3^4\left(\frac{1}{2}\right)^4=4\cdot\frac{1}{16}=\frac{1}{4}$。 前 $4$ 次全中獎的機率：$\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{16}$。 因為這些事件互斥，所以 $$P(A\cap B)=1-\frac{1}{4}-\frac{1}{16}=1-\frac{4}{16}-\frac{1}{16}=\frac{11}{16}$$ 3. 條件機率： $$P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{11/16}{7/8}=\frac{11}{16}\cdot\frac{8}{7}=\frac{11}{14}$$ 故條件機率為 $\frac{11}{14}$。