98指考數學甲多選第7題詳解

正面出現 $k$ 次時，累積獎金為 $1+2+\cdots+k=\frac{k(k+1)}{2}$ 元。 選項 $(1)$：因為獎金公式為 $\frac{k(k+1)}{2}$，所以 $\frac{k(k-1)}{2}$ 是錯誤的。$(1)$ 錯誤。 選項 $(2)$：第二次丟擲之後累計獎金 $1$ 元，表示前兩次恰出現一次正面（「正反」或「反正」）。機率為 $p(1-p)+(1-p)p=2p(1-p)=2(p-p^2)$。$(2)$ 正確。 選項 $(3)$：因為獎金只能是 $\frac{k(k+1)}{2}$（$0,1,3,6,10,\dots$），不可能恰好為 $2$ 元，所以總獎金 $2$ 元的機率恆為 $0$。$(3)$ 錯誤。 選項 $(4)$：獎金 $\frac{n(n-1)}{2}$ 元需 $\frac{k(k+1)}{2}=\frac{n(n-1)}{2}$，解得 $k=n-1$（$k\ge 0$）。即 $n$ 次中恰出現 $n-1$ 次正面。機率為 $C^{n}_{n-1}p^{\,n-1}(1-p)=np^{\,n-1}(1-p)=n(p^{\,n-1}-p^{\,n})$。$(4)$ 正確。 故選 $(2)(4)$。