99指考數學甲非選第12題詳解

(1) 設 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$，其導函數為 \begin{aligned} f'(x)&=3ax^2+2bx+c,\\[4pt] f''(x)&=6ax+2b \end{aligned} 由題意： - 因為原點 $(0,0)$ 在圖形上，所以 $f(0)=d=0$。 - 因為在原點的切線為 $y=-x$，斜率為 $-1$，所以 $f'(0)=c=-1$。 - 因為原點是反曲點，所以 $f''(0)=2b=0$，得 $b=0$。 因此 $b=0$，$c=-1$，$d=0$。 (2) 由 (1) 得 $f(x)=ax^3-x=x(ax^2-1)$。$f(x)=0$ 的根為 $x=0$ 及 $x=\pm\frac{1}{\sqrt{a}}$（因 $a>0$）。 $f(x)$ 與 $x$ 軸（$y=0$）所圍的有界區域，為 $x\in\left[-\frac{1}{\sqrt{a}},0\right]$ 與 $x\in\left[0,\frac{1}{\sqrt{a}}\right]$ 兩段。因為 $f(x)$ 為奇函數，所以兩段面積相等： \begin{aligned} \text{面積}&=2\int_{0}^{1/\sqrt{a}}|f(x)|\,dx=2\int_{0}^{1/\sqrt{a}}(x-ax^3)\,dx\\[4pt] &=2\left[\frac{x^2}{2}-\frac{ax^4}{4}\right]_{0}^{1/\sqrt{a}}\\[4pt] &=2\left(\frac{1}{2a}-\frac{a}{4a^2}\right)=2\left(\frac{1}{2a}-\frac{1}{4a}\right)=2\cdot\frac{1}{4a}=\frac{1}{2a} \end{aligned} 因為題給面積為 $2$，所以 $\frac{1}{2a}=2$，得 $a=\frac{1}{4}$。