100指考數學甲非選第12題詳解

$(1)$ 因為 $f(x)$ 的最高次項係數為 $12$，且 $f(x) - 25 = 0$ 有三根 $x = 0, 1, 2$，所以 $$f(x) - 25 = 12x(x-1)(x-2) = 12(x^3 - 3x^2 + 2x).$$ 因此 $f(x) = 12x^3 - 36x^2 + 24x + 25$。 2. 求反曲點：$f'(x) = 36x^2 - 72x + 24$，$f''(x) = 72x - 72$。令 $f''(x) = 0$ 得 $x = 1$。 $f$(1)$ = 12 - 36 + 24 + 25 = 25$。 因為 $f'''(x) = 72 eq 0$，所以 $(1, 25)$ 為反曲點。 故反曲點坐標為 $(1, 25)$。 $(2)$ 3. 計算定積分： \begin{align*} \int_0^2 f(x)\,dx &= \int_0^2 (12x^3 - 36x^2 + 24x + 25)\,dx \\ &= \left區間 $[3x^4 - 12x^3 + 12x^2 + 25x\right]$_0^2 \\ &= (3 \cdot 16 - 12 \cdot 8 + 12 \cdot 4 + 25 \cdot 2) - 0 \\ &= 48 - 96 + 48 + 50 = 50. \end{align*} 故定積分 $= 50$。