詳解
$(1)$ 令 $y=f(x)=x^4-2x^3-x^2+2x=0$，則
$$
\begin{aligned}
0=f(x)&=x(x^3-2x^2-x+2) \\
&=x[x^2(x-2)-(x-2)] \\
&=x(x^2-1)(x-2) \\
&=x(x+1)(x-1)(x-2).
\end{aligned}
$$
解得與 $x$ 軸的交點為 $x=-1,0,1,2$，所以最左端的點坐標為 $(-1,0)$。
$(2)$ 曲線與 $x$ 軸所圍成區域的區間為 $[-1,0]$、$[0,1]$ 與 $[1,2]$。由略圖可知：當 $-1\le x\le0$ 及 $1\le x\le2$ 時，$f(x)\le0$；當 $0\le x\le1$ 時，$f(x)\ge0$。
故面積
$$
A=\int_{-1}^{0}-f(x)\,dx+\int_{0}^{1}f(x)\,dx+\int_{1}^{2}-f(x)\,dx。
$$
三段面積分別為
$$
\begin{aligned}
\int_{-1}^{0}-f(x)\,dx
&=\left[-\frac{x^5}{5}+\frac{x^4}{2}+\frac{x^3}{3}-x^2\right]_{-1}^{0}=\frac{19}{30},\\
\int_{0}^{1}f(x)\,dx
&=\left[\frac{x^5}{5}-\frac{x^4}{2}-\frac{x^3}{3}+x^2\right]_{0}^{1}=\frac{11}{30},\\
\int_{1}^{2}-f(x)\,dx
&=\left[-\frac{x^5}{5}+\frac{x^4}{2}+\frac{x^3}{3}-x^2\right]_{1}^{2}=\frac{19}{30}.
\end{aligned}
$$
因此
$$
A=\frac{19}{30}+\frac{11}{30}+\frac{19}{30}=\frac{49}{30}。
$$
解析附圖