84大學聯考數學（自然組）選填第15題詳解

正六邊形的邊長為 $4$。由圖可知，各頂點的坐標，其中： $E$ 點坐標為 $(2+\sqrt{3}, 4)$。 $G$ 點（六角星形的外側頂點之一）坐標為 $(2-\sqrt{3}, 8)$。 根據線性規劃的平行線原理： 1. 目標函數 $f(x,y) = 5x-4y$ 在區域 $R_1$ 上的最大值發生在頂點 $E(2+\sqrt{3}, 4)$： $f(E) = 5(2+\sqrt{3}) - 4(4) = 5\sqrt{3} - 6$。 2. 目標函數 $f(x,y) = 5x-4y$ 在斜線區域 $R_2$ 上的最小值發生在星形的最左上角頂點 $G(2-\sqrt{3}, 8)$： $f(G) = 5(2-\sqrt{3}) - 4(8) = -22 - 5\sqrt{3}$。