84大學聯考數學（自然組）選填第16題詳解

已知 $\frac{1}{p}+\frac{1}{3q}=12$，其中 $p,q>0$。將其拆項寫為四項和： $$ \frac{1}{3p}+\frac{1}{3p}+\frac{1}{3p}+\frac{1}{3q}=12。 $$ 由算幾不等式， $$ \begin{aligned} 3 &=\frac{\frac{1}{3p}+\frac{1}{3p}+\frac{1}{3p}+\frac{1}{3q}}{4} \\ &\ge\sqrt[4]{\frac{1}{3p}\cdot\frac{1}{3p}\cdot\frac{1}{3p}\cdot\frac{1}{3q}}, \end{aligned} $$ 所以 $$ 3\ge\sqrt[4]{\frac{1}{27p^3q}} \implies 3^4\ge\frac{1}{27p^3q} \implies p^3q\ge\frac{1}{3^8}=3^{-8}。 $$ 目標函數可以化簡為 $$ 3\log_{\frac{1}{3}}p+\log_{\frac{1}{3}}q=\log_{\frac{1}{3}}(p^3q)。 $$ 因為底數 $\frac{1}{3}<1$，且 $p^3q\ge3^{-8}$，所以 $$ \log_{\frac{1}{3}}(p^3q)\le\log_{\frac{1}{3}}(3^{-8})=8。 $$ 因此其最大值為 $8$。 等號成立於 $$ \frac{1}{3p}=\frac{1}{3q}=\frac{12}{4}=3 \implies p=q=\frac{1}{9}。 $$ 此時 $(p,q)=\left(\frac{1}{9},\frac{1}{9}\right)$。