84大學聯考數學（自然組）非選第17題詳解

$(1)$ 設正三角形 $T_1$ 的面積為 $$ A=\frac{\sqrt{3}}{4}\times1^2=\frac{\sqrt{3}}{4}。 $$ $T_2$ 相比 $T_1$ 多了 $3$ 個小正三角形，每個邊長為 $T_1$ 的 $\frac{1}{3}$，面積為 $\frac{1}{9}A$，所以 $$ A_2=A+3\cdot\frac{1}{9}A=A\left(1+\frac{1}{3}\right)。 $$ $T_3$ 相比 $T_2$ 多了 $3\cdot4=12$ 個小正三角形，每個邊長為 $T_1$ 的 $\frac{1}{9}$，面積為 $\frac{1}{81}A$，所以 $$ \begin{aligned} A_3 &=A\left(1+\frac{1}{3}\right)+12\cdot\frac{1}{81}A \\ &=A\left(1+\frac{1}{3}+\frac{4}{27}\right) \\ &=\frac{40}{27}A=\frac{10\sqrt{3}}{27}。 \end{aligned} $$ $(2)$ $T_n$ 的邊長為 $T_{n-1}$ 的 $\frac{1}{3}$，而邊數為 $T_{n-1}$ 的 $4$ 倍。因此，$T_n$ 的周長 $a_n$ 為 $a_{n-1}$ 的 $\frac{4}{3}$ 倍。 周長數列 $a_n$ 是首項 $a_1=3$、公比為 $\frac{4}{3}$ 的等比數列： $$ a_n=3\left(\frac{4}{3}\right)^{n-1}。 $$ 其倒數數列為 $$ \frac{1}{a_n}=\frac{1}{3}\left(\frac{3}{4}\right)^{n-1}。 $$ 因為公比 $\left|\frac{3}{4}\right|<1$，所以無窮等比級數收斂，且 $$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{a_n} =\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{3}{4}} =\frac{4}{3}。 $$