84大學聯考數學（自然組）非選第18題詳解

整理原方程式，將其按 $x$ 與 $y$ 的二次項合併： $\Gamma: (k+1)x^2 + (1-k)y^2 + (2k+2)x + (2k+2)y = 0$。 就實數 $k$ 進行分類討論： 1. 當 $k = 0$ 時，方程式為 $x^2 + y^2 + 2x + 2y = 0 \Rightarrow (x+1)^2 + (y+1)^2 = 2$。 此為一圓，圓心為 $(-1, -1)$，半徑為 $\sqrt{2}$。 2. 當 $k = 1$ 時，方程式為 $2x^2 + 4x + 4y = 0 \Rightarrow x^2 + 2x + 2y = 0 \Rightarrow (x+1)^2 = -2(y-1/2)$。 此圖形為一拋物線。 3. 當 $k = -1$ 時，方程式為 $2y^2 = 0 \Rightarrow y = 0$。 此圖形為一直線（即 $x$ 軸）。 4. 當 $-1 < k < 1$ 且 $k \neq 0$ 時： 配方得 $(k+1)(x+1)^2 + (1-k)\left(y + \dfrac{k+1}{1-k}\right)^2 = (k+1) + \dfrac{(k+1)^2}{1-k} = \dfrac{2(k+1)}{1-k}$。 因為 $-1 < k < 1$，故 $k+1 > 0$ 且 $1-k > 0$。兩項係數均為正，且 $k+1 \neq 1-k$（因 $k \neq 0$）。 等號右端常數 $\dfrac{2(k+1)}{1-k} > 0$。 此圖形為一橢圓。 5. 當 $k < -1$ 或 $k > 1$ 時： 此時 $k+1$ 與 $1-k$ 異號，且 $\dfrac{2(k+1)}{1-k} \neq 0$。 此圖形為一雙曲線。