84大學聯考數學（自然組）非選第19題詳解

利用倍角與同角公式： $$ \cos2x=2\cos^2x-1,\qquad \sin^2x=1-\cos^2x。 $$ 代入可得 $$ \begin{aligned} f(x)&=(2\cos^2x-1)+4(1-\cos^2x)-\cos x-2 \\ &=-2\cos^2x-\cos x+1。 \end{aligned} $$ $(1)$ 解方程式 $f(x)=0$： $$ \begin{aligned} 0=f(x)&=-2\cos^2x-\cos x+1 \\ &\implies 2\cos^2x+\cos x-1=0 \\ &\implies (2\cos x-1)(\cos x+1)=0。 \end{aligned} $$ 所以 $\cos x=\frac{1}{2}$ 或 $\cos x=-1$。 若 $\cos x=\frac{1}{2}$，則 $x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3}$；若 $\cos x=-1$，則 $x=(2k-1)\pi$，其中 $k\in\mathbb{Z}$。 $(2)$ 解不等式 $f(x)>0$，其中 $0\le x\le2\pi$： $$ \begin{aligned} f(x)>0 &\implies 2\cos^2x+\cos x-1<0 \\ &\implies (2\cos x-1)(\cos x+1)<0 \\ &\implies -1<\cos x<\frac{1}{2}。 \end{aligned} $$ 在 $0\le x\le2\pi$ 的範圍內，$\cos x<\frac{1}{2}$ 給出 $\frac{\pi}{3}<x<\frac{5\pi}{3}$；$\cos x>-1$ 則排除 $x=\pi$。 因此，不等式的解為 $$ \frac{\pi}{3}<x<\frac{5\pi}{3},\qquad x\neq\pi。 $$