84大學聯考數學（自然組）選填第13題詳解

$(1)$ 由餘弦定理， $$ \begin{aligned} BC^2 &=AB^2+AC^2-2AB\cdot AC\cos A \\ &=2^2+(1+\sqrt{3})^2-2\cdot2\cdot(1+\sqrt{3})\cos30^\circ \\ &=4+(4+2\sqrt{3})-4(1+\sqrt{3})\frac{\sqrt{3}}{2} \\ &=8+2\sqrt{3}-6-2\sqrt{3}=2. \end{aligned} $$ 故 $\overline{BC}=\sqrt{2}$。 $(2)$ 由餘弦定理求 $\angle C$ 的餘弦值： $$ \begin{aligned} \cos C &=\frac{AC^2+BC^2-AB^2}{2\cdot AC\cdot BC} \\ &=\frac{(1+\sqrt{3})^2+2-4}{2(1+\sqrt{3})\sqrt{2}} \\ &=\frac{2+2\sqrt{3}}{2\sqrt{2}(1+\sqrt{3})} \\ &=\frac{1}{\sqrt{2}}. \end{aligned} $$ 因為 $0^\circ<\angle C<180^\circ$，所以 $\angle C=45^\circ$。