詳解
1. 因為 $A(2,-3,5)$ 與 $B(3,0,10)$ 的 $z$ 坐標均大於 $0$，它們在平面 $z=0$（即 $xy$ 平面）的同側，而 $C(x,y,0)$ 位於 $z=0$ 平面上。使 $\triangle ABC$ 周長最小，由於邊 $\overline{AB}$ 長度固定，等同於求 $\overline{CA}+\overline{CB}$ 的最小值。
取點 $A(2,-3,5)$ 對平面 $z=0$ 的對稱點 $A'(2,-3,-5)$，此時 $\overline{CA}=\overline{CA'}$，故 $\overline{CA}+\overline{CB}=\overline{CA'}+\overline{CB}$。當 $A',C,B$ 三點共線時，$\overline{CA'}+\overline{CB}$ 有最小值，此時 $C$ 點為直線 $A'B$ 與平面 $z=0$ 的交點。
2. 直線 $A'B$ 的方向向量為
$$
\overset{\large\rightharpoonup}{A'B}=(3-2,0-(-3),10-(-5))=(1,3,15)。
$$
直線 $A'B$ 的參數式為
$$
\begin{cases}
x=3+t,\\
y=3t,\\
z=10+15t,
\end{cases}
$$
其中 $t$ 為實數。
3. 將其代入平面 $z=0$，得
$$
10+15t=0\implies t=-\frac{2}{3}。
$$
代回參數式可得 $C$ 點坐標為
$$
C=\left(3-\frac{2}{3},3\left(-\frac{2}{3}\right),0\right)
=\left(\frac{7}{3},-2,0\right)。
$$
解析附圖一
解析附圖二
解法一附圖
解法二附圖