84大學聯考數學（自然組）選填第11題詳解

1. 兩平行切線為 $L_1: 2x-5y-6=0$ 與 $L_2: 2x-5y+10=0$。圓心必在與此兩平行線等距離的平行直線 $L$ 上，其方程式為： $$ 2x-5y+\frac{-6+10}{2}=0\implies 2x-5y+2=0。 $$ 已知圓心亦在直線 $x-2y+2=0$ 上，故聯立解圓心坐標： $$ \begin{cases} 2x-5y+2=0,\\ x-2y+2=0, \end{cases} \implies \begin{cases} x=-6,\\ y=-2。 \end{cases} $$ 得圓心為 $C(-6,-2)$。 2. 兩平行切線 $L_1,L_2$ 之間的距離即為圓的直徑 $d$： $$ d=\frac{|-6-10|}{\sqrt{2^2+(-5)^2}}=\frac{16}{\sqrt{29}}。 $$ 半徑 $r=\frac{d}{2}=\frac{8}{\sqrt{29}}$，其平方 $r^2=\frac{64}{29}$。 3. 因此，圓方程式為 $$ (x+6)^2+(y+2)^2=\frac{64}{29}。 $$