86大學聯考數學（自然組）選填第11題詳解

因為我們定義兩個事件： - 事件 $A$：擲三粒骰子，「至少出現一粒 $4$ 點」。 - 事件 $B$：三粒骰子的「點數和為偶數」。 本題所求即為在事件 $A$ 發生的條件下，事件 $B$ 發生的條件機率 $P(B \mid A)$： $$P(B \mid A) = \dfrac{n(A \cap B)}{n(A)}$$ Step 1: 計算 $n(A)$ 的方法數 利用反面做法，投擲三粒骰子之總樣本數為 $6^3 = 216$ 種，完全沒有出現 $4$ 點（即每粒骰子僅能出現 $1, 2, 3, 5, 6$ 點）的方法數為 $5^3 = 125$ 種。所以因此，至少出現一粒 $4$ 點的方法數為： $$n(A) = 6^3 - 5^3 = 216 - 125 = 91 \text{ 種}$$ Step 2: 計算 $n(A \cap B)$ 的方法數 即至少出現一粒 $4$ 點，且三粒骰子之點數和為偶數。我們依「出現 $4$ 點的個數」進行分類討論： 1. 出現三次 $4$ 點： 點數組合為 $(4, 4, 4)$，其點數和為 $12$（偶數）。 方法數為： $$1 \text{ 種}$$ 2. 出現二次 $4$ 點： 點數組合為 $(4, 4, x)$，其中 $x \ne 4$。 點數和為 $4 + 4 + x = 8 + x$。若要點數和為偶數，則 $x$ 必為偶數。在排除 $4$ 後，偶數點可為 $2, 6$（共 $2$ 種選擇）。 而此組合中兩個 $4$ 點與一個非 $4$ 點之排列方法數為 $\frac{3!}{2!} = C^3_1 = 3$ 種。 方法數為： $$2 \times 3 = 6 \text{ 種}$$ 3. 出現一次 $4$ 點： 點數組合為 $(4, x, y)$，其中 $x, y \ne 4$。 點數和為 $4 + x + y$。若要點數和為偶數，則 $x+y$ 必須為偶數。這代表 $x$ 與 $y$ 必須同為偶數，或同為奇數： - $x, y$ 皆為偶數：排除 $4$ 後，可選擇 $2, 6$（共有 $2 \times 2 = 4$ 種選擇）。排列方法為 $C^3_1 = 3$ 種（選定哪一粒是 $4$ 點）。 方法數為 $2 \times 2 \times C^3_1 = 12$ 種。 - $x, y$ 皆為奇數：可選擇 $1, 3, 5$（共有 $3 \times 3 = 9$ 種選擇）。排列方法同為 $C^3_1 = 3$ 種。 方法數為 $3 \times 3 \times C^3_1 = 27$ 種。 此分類之方法數總和為 $12 + 27 = 39$ 種。 綜合上述三種情況，至少出現一粒 $4$ 點且點數和為偶數之方法數為： $$n(A \cap B) = 1 + 6 + 39 = 46 \text{ 種}$$ Step 3: 計算條件機率 $P(B \mid A)$ $$P(B \mid A) = \dfrac{46}{91}$$ 答案為 $\frac{46}{91}$。