86大學聯考數學（自然組）選填第10題詳解

因為設多項式函數為 $f(x) = x^3 - b$，則其導函數為 $f'(x) = 3x^2$。 根據牛頓法（Newton-Raphson Method）的求根疊代公式： $$x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$ 將 $f(x)$ 與 $f'(x)$ 代入，得： $$x_{n+1} = x_n - \dfrac{x_n^3 - b}{3x_n^2} = \dfrac{3x_n^3 - (x_n^3 - b)}{3x_n^2} = \dfrac{2x_n^3 + b}{3x_n^2}$$ 已知第一步近似值 $a_1 = x_1 = 2$，疊代後的第二步近似值 $a_2 = x_2 = \frac{9}{5}$。我們將 $x_1 = 2$ 代入疊代公式： $$x_2 = \dfrac{2(2)^3 + b}{3(2)^2} = \dfrac{16 + b}{12}$$ 由題意 $x_2 = \frac{9}{5}$，所以故有： $$\dfrac{16 + b}{12} = \dfrac{9}{5}$$ 兩邊交叉相乘： $$5(16 + b) = 9 \times 12$$ $$80 + 5b = 108$$ $$5b = 28 \implies b = \dfrac{28}{5}.$$ 答案為 $\frac{28}{5}$。