110指考數學甲多選第6題詳解

投擲四次銅板，每次正面（加 $1$）或反面（加 $3$），共有 $2^4=16$ 種等可能路徑。 每次被戳的格子編號為路徑中前 $1,2,3,4$ 步的累加結果（起始點視為 $0$，第一步從 $1$ 或 $3$ 開始）。 逐一列舉 $16$ 種路徑並統計各格被戳到的次數： $p_1$：第一步為正（$8$ 種），所以 $p_1=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$。 $p_2$：路徑為「正、正、？、？」時第二步抵 $2$（$4$ 種），所以 $p_2=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。 $p_3$：第一步為反（$8$ 種）或路徑「正、正、正、？」第三步抵 $3$ 等，統計得 $p_3=\frac{10}{16}=\frac{5}{8}$。 $p_4$：統計得 $p_4=\frac{9}{16}$。 $p_8$：統計得 $p_8=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$。 $p_{10}$：統計得 $p_{10}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。 選項 $(1)$：因為 $p_2=\frac{1}{4}$，所以此選項正確。 選項 $(2)$：因為 $p_3=\frac{5}{8}\neq\frac{1}{2}$，所以此選項錯誤。 選項 $(3)$：因為 $\frac{1}{2}p_1+\frac{1}{2}p_3=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{5}{8}=\frac{1}{4}+\frac{5}{16}=\frac{9}{16}=p_4$，所以此選項正確。 選項 $(4)$：因為 $p_8=\frac{3}{8}>\frac{1}{4}=p_{10}$，所以此選項正確。 選項 $(5)$：在 $4$ 號格子被戳到的 $9$ 種路徑中，$3$ 號也被戳到的有 $5$ 種，所以條件機率為 $\frac{5}{9}\neq\frac{1}{2}$，此選項錯誤。 故選 $(1)(3)(4)$。