110指考數學甲多選第7題詳解

已知 $f'(x)>x^2+1.1$ 對所有實數 $x$ 均成立。 選項 $(1)$：因為 $f'(x)>x^2+1.1$ 只能保證 $f'(x)>0$，不保證 $f'(x)$ 為遞增（需要 $f''(x)>0$），所以此選項錯誤。 選項 $(2)$：因為 $f'(x)>x^2+1.1\ge1.1>0$ 對所有 $x$ 成立，所以 $f(x)$ 為嚴格遞增函數，此選項正確。 選項 $(3)$：因為 $F'(x)=f(x)$，而 $f(x)$ 的正負未知，$F(x)$ 不一定為遞增（例如 $f(x)$ 可能在某些區間為負），所以此選項錯誤。 選項 $(4)$：因為 $f(x)$ 的正負未知，$[f(x)]^2$ 的導數為 $2f(x)f'(x)$，若 $f(x)<0$ 則導數為負，函數遞減，所以不一定為遞增，此選項錯誤。 選項 $(5)$：因為 $f$ 為遞增函數（由選項 $(2)$），所以 $x_1<x_2\implies f(x_1)<f(x_2)$。因為 $f$ 遞增，所以 $f(x_1)<f(x_2)\implies f(f(x_1))<f(f(x_2))$，因此 $f(f(x))$ 也是遞增函數，此選項正確。 故選 $(2)(5)$。