95指考數學甲選填第11題詳解

1. 給定兩點 $O(0,0)$、$A(4,3)$，且 $B(x,0)$ 在正 $x$ 軸上變動（即 $x > 0$）。 線段 $AB$ 的長度 $l(x)$ 為： $$l(x) = \sqrt{(x-4)^2 + 3^2} = \sqrt{x^2 - 8x + 25}$$ 我們需要求比值 $f(x) = \dfrac{x}{l(x)} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 - 8x + 25}}$ 在 $x > 0$ 時的最大值。 2. 由於 $x > 0$，考慮其平方： $$f(x)^2 = \dfrac{x^2}{x^2 - 8x + 25} = \dfrac{1}{1 - \dfrac{8}{x} + \dfrac{25}{x^2}}$$ 3. 令 $t = \dfrac{1}{x} > 0$，則分母為二次函數： $$g(t) = 25t^2 - 8t + 1$$ 此二次函數的頂點（最小值）在： $$t = \dfrac{-(-8)}{2 \times 25} = \dfrac{4}{25} > 0$$ 此時分母取得最小值： $$g\left(\dfrac{4}{25}\right) = 25\left(\dfrac{4}{25}\right)^2 - 8\left(\dfrac{4}{25}\right) + 1 = \dfrac{16}{25} - \dfrac{32}{25} + 1 = \dfrac{9}{25}$$ 因此，$f(x)^2$ 的最大值為： $$\dfrac{1}{g(t)_{\min}} = \dfrac{25}{9}$$ 取平方根，比值 $f(x)$ 的最大值為： $$\sqrt{\dfrac{25}{9}} = \dfrac{5}{3}$$