95指考數學甲非選第12題詳解

(1) 將 $48510$ 分解成質因數的乘積： 我們先做簡單的分解： $$48510 = 10 \times 4851 = 2 \times 5 \times 4851$$ 觀察 $4851$，其數字和為 $4+8+5+1 = 18$，是 $9$ 的倍數，因此可被 $9$ 整除： $$4851 = 9 \times 539 = 3^2 \times 539$$ 接著分解 $539$，容易檢驗其可被 $7$ 整除： $$539 = 7 \times 77 = 7^2 \times 11$$ 因此，質因數分解為： $$48510 = 2 \times 3^2 \times 5 \times 7^2 \times 11$$ --- (2) 寫出在 $1$ 和 $250$ 之間且與 $48510$ 互質的所有合數： 與 $48510$ 互質，表示該數沒有質因數 $2, 3, 5, 7, 11$。 又該數為合數（比 $1$ 大且非質數的整數），因此它必定是至少兩個質數的乘積。這些質因數都必須大於或等於 $13$（即只能是 $13, 17, 19, 23, \dots$ 等質數）。 我們來尋找所有小於 $250$ 且質因數皆 $\ge 13$ 的合數： 1. 若最小的質因數為 $13$： - $13 \times 13 = 169$（符合，$< 250$） - $13 \times 17 = 221$（符合，$< 250$） - $13 \times 19 = 247$（符合，$< 250$） - $13 \times 23 = 299$（不符合，$> 250$） 2. 若最小的質因數為 $17$： - 最小的合數為 $17 \times 17 = 289$（不符合，$> 250$） 因此，在 $1$ 和 $250$ 之間且與 $48510$ 互質的所有合數為 $169, 221, 247$。