88大學聯考數學（社會組）選填第7題詳解

1. 設此共同的質數根為 $k$（$k$ 為質數，且 $k>1$）。 2. 將 $k$ 代入兩個方程式： $$k^2 - ak + 817 = 0 \implies 817 = k(a-k)$$ $$k^2 - bk + 3553 = 0 \implies 3553 = k(b-k)$$ 因此可知 $k$ 必須是 $817$ 與 $3553$ 的公因數。 3. 我們將兩數進行因數分解： $$817 = 19 \times 43$$ $$3553 = 19 \times 187$$ 4. 因為 $k$ 是大於 $1$ 的質數，所以 $k$ 只能為公因數 $19$。將 $k = 19$ 代回： (i) $19^2 - 19a + 817 = 0 \implies 361 - 19a + 817 = 0 \implies 19a = 1178 \implies a = 62$ (ii) $19^2 - 19b + 3553 = 0 \implies 361 - 19b + 3553 = 0 \implies 19b = 3914 \implies b = 206$ 因此，數對 $(a,b) = (62,206)$。