88大學聯考數學（社會組）選填第6題詳解

設總和為 $S$。 在 $3\times3$ 方格中，數字 $1$ 的個數為 $5$，$2$ 的個數為 $3$，$3$ 的個數為 $1$。 在 $4\times4$ 方格中，數字 $1$ 的個數為 $7$，$2$ 的個數為 $5$，$3$ 的個數為 $3$，$4$ 的個數為 $1$。 一般地，在 $10\times10$ 的方格上，數字 $k$ （其中 $1 \le k \le 10$）的出現次數為 $2(10-k)+1 = 21-2k$ 次。 故填入的 $100$ 個數字之總和為： $$S = \sum_{k=1}^{10} k(21-2k) = \sum_{k=1}^{10} (21k - 2k^2)$$ $$S = 21 \times \left(\sum_{k=1}^{10} k\right) - 2 \times \left(\sum_{k=1}^{10} k^2\right)$$ $$S = 21 \times \dfrac{10 \times 11}{2} - 2 \times \dfrac{10 \times 11 \times 21}{6}$$ $$S = 21 \times 55 - 2 \times 385 = 1155 - 770 = 385$$