99指考數學甲選填第9題詳解

1. 已知 $f''(x)=8x+11$。積分得 $$f'(x)=\int(8x+11)\,dx=4x^2+11x+C$$ 2. 因為 $y=f(x)$ 在 $x=1$ 有局部極值，所以 $f'(1)=0$： $$f'(1)=4(1)^2+11(1)+C=0\;\implies\;15+C=0\;\implies\;C=-15$$ 3. 因此 $f'(x)=4x^2+11x-15$，代入 $x=0$： $$f'(0)=0+0-15=-15$$ 故 $f'(0)=-15$。