101指考數學甲多選第8題詳解

分析 $f'(x)$ 的正負變化： - $x < 0$：$f'(x) < 0$（遞減） - $0 < x < 1$：$f'(x) < 0$（遞減） - $1 < x < 4$：$f'(x) < 0$（遞減） - $x > 4$：$f'(x) > 0$（遞增） 因為 $f'(x)$ 在 $x = 4$ 處由負轉正，所以 $f(x)$ 在 $x = 4$ 處有局部極小值。又因為 $f'(x) < 0$ 對所有 $x < 4$ 成立，所以 $x = 4$ 為絕對最小值。$(2)$ 正確。 2. 分析 $f''(x)$ 的正負變化： - $x < 0$：$f''(x) > 0$ - $0 < x < 1$：$f''(x) < 0$ - $1 < x < 4$：$f''(x) > 0$ - $x > 4$：$f''(x) > 0$ $f''(x)$ 在 $x = 0$ 處由正變負，在 $x = 1$ 處由負變正，共有 $2$ 個反曲點。$(3)$ 錯誤（說恰有一個反曲點）。 3. 因為 $f''(x)$ 至少有 $2$ 個根，所以 $f''(x)$ 的次數至少為 $2$，$f(x)$ 的次數至少為 $4$。$(4)$ 錯誤（說 $n \ge 5$ 不一定對，$n \ge 3$ 太弱）。 4. 當 $x > 4$ 時 $f'(x) > 0$ 且 $f''(x) > 0$，圖形遞增且凹口向上。因為 $f$ 為多項式，最高次項主導行為，所以最高次項係數為正，保證 $\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = \infty$。$(5)$ 正確。 故選 $(2)(5)$。