110指考數學甲多選第5題詳解

選項 $(1)$：因為 $f(x)$ 除以 $x-1$ 的餘式等於 $f(1)$，所以 $r_1(x)=f(1)$ 為常數，此選項正確。 選項 $(2)$：$f(x)$ 除以 $x^2-1$ 的餘式 $r_2(x)$ 次數小於 $2$，可能為一次或常數。不一定是一次式（例如 $f(x)=1$ 時 $r_2(x)=1$），所以此選項錯誤。 選項 $(3)$：因為 $x^2-1$ 整除 $x^4-1$，所以 $f(x)$ 與 $r_4(x)$ 除以 $x^2-1$ 的餘式相同，即 $r_4(x)$ 除以 $x^2-1$ 的餘式等於 $f(x)$ 除以 $x^2-1$ 的餘式 $r_2(x)$，此選項正確。 選項 $(4)$：取 $f(x)=x^5$，則 $r_5(x)$ 為 $x^5$ 除以 $x^5-1$ 的餘式即 $1$，而 $r_6(x)$ 為 $x^5$ 除以 $x^6-1$ 的餘式即 $x^5$，兩者不相等，所以此選項錯誤。 選項 $(5)$：取奇函數 $f(x)=x^5$（滿足 $f(-x)=-f(x)$），則 $r_3(x)$ 為 $x^5$ 除以 $x^3-1$ 的餘式。計算 $x^5=(x^2)(x^3-1)+x^2$，所以 $r_3(x)=x^2$。此時 $r_3(-x)=(-x)^2=x^2=r_3(x)$，不滿足 $r_3(-x)=-r_3(x)$，所以此選項錯誤。 故選 $(1)(3)$。