96指考數學甲多選第5題詳解

令兩個已知除法條件扣除餘式後得到 $$ R_1=x^3+3x^2+4x+2-(3x+2)=x^3+3x^2+x, $$ $$ R_2=x^3+x^2-x-1-(4x+1)=x^3+x^2-5x-2. $$ 因為 $f(x)$ 同時整除 $R_1,R_2$，所以也整除 $$ R_1-R_2=2(x^2+3x+1). $$ 兩邊的二次首項係數都是 $1$，因此 $$ f(x)=x^2+3x+1. $$ $(1)$ 因為 $a=3$，正確；$(2)$ 因為 $b=1$，錯誤。 $(3)$ 此二次式的判別式為 $9-4=5>0$，所以有兩個實根，錯誤。 $(4)$ 頂點的函數值為 $$ f\left(-\frac32\right)=-\frac54, $$ 所以極小值不是正的 $\frac54$，錯誤。 $(5)$ 因為餘式定理給出 $$ f(-3)=9-9+1=1, $$ 所以正確。 故選 $(1)(5)$。 另解 根據除法原理，我們可以將 $P(x)$ 寫成： $$P(x) = (x-3) Q(x) + 2$$ 其中 $Q(x)$ 是一個四次實係數多項式，且其所有係數皆為正數。 $(1)$ 錯誤。若 $P(x) = 0$ 與 $Q(x) = 0$ 有共同實根 $\alpha$，則 $Q(\alpha) = 0$。代入除法原理式得 $P(\alpha) = (\alpha-3) Q(\alpha) + 2 = 2 \ne 0$，矛盾。因此不可能有共同實根。 $(2)$ 錯誤。由 $P(x) = 2 \implies (x-3)Q(x) = 0$。 因為 $Q(x)$ 的係數均為正數，當 $x \ge 0$ 時， $Q(x) > 0$，所以 $Q(x) = 0$ 的實根必為負數。 但是，一個四次且係數皆為正的多項式可能存在負實根（例如 $Q(x) = (x+1)^4 = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1 = 0$ 有根 $x = -1$）。若 $Q(x)$ 有負實根 $x_0$，則 $P(x_0) = 2$，這代表除了 $3$ 之外，還有其他實根滿足 $P(x) = 2$。 $(3)$ 正確。我們計算 $P(4)$： $$P(4) = (4-3) Q(4) + 2 = Q(4) + 2$$ 因為 $Q(x)$ 的所有係數皆為正值，當代入正數 $x = 4$ 時，必有 $Q(4) > 0$。 故 $P(4) = Q(4) + 2 > 2 > 0$，即 $P(4) \ne 0$，所以 $P(x)$ 不能被 $x-4$ 整除。 $(4)$ 正確。因為 $P(x)$ 為實係數五次多項式且其最高次項係數為正數（來自於商式 $Q(x)$ 最高次項係數為正，乘以 $x-3$ 後最高次項係數仍為正）： - 當 $x \to -\infty$ 時， $P(x) \to -\infty$。 - 又 $P(3) = 2 > 0$。 根據勘根定理，在區間 $(-\infty, 3)$ 內必存在至少一個實根 $\beta$ 使得 $P(\beta) = 0$，即必定有小於 $3$ 的實根。 $(5)$ 錯誤。設 $P(x)$ 除以 $(x-3)(x+3)$ 的餘式為 $Ax+B$： $$P(x) = (x-3)(x+3) g(x) + (Ax+B)$$ 代入 $x=3$ 可得 $3A + B = P(3) = 2$。 若餘式要為 $2$（即 $Ax+B = 2$），則需 $A = 0, B = 2$。 此時代入 $x=-3$ 需滿足 $P(-3) = 2$。 由原式 $P(-3) = (-3-3)Q(-3) + 2 = -6 Q(-3) + 2$，這要求 $Q(-3) = 0$。 然而 $Q(x)$ 的係數為正並不代表 $Q(-3)$ 必定為 $0$（例如當 $Q(x) = x^4 + 1$，則 $Q(-3) = 82 \ne 0$）。因此餘式不一定為 $2$。 故正確選項為 $(3)(4)$。