85大學聯考數學（社會組）非選第12題詳解

(1) 由除法原理，可將 $f(x)$ 與 $g(x)$ 表示為： $$f(x) = (x^2-3x+2)Q_1(x) + 3x-4 = (x-1)(x-2)Q_1(x) + 3x-4 \implies f(1) = 3(1)-4 = -1$$ $$g(x) = (x-1)Q_2(x) + 5 \implies g(1) = 5$$ 根據餘式定理，以 $x-1$ 除 $f(x)+g(x)$ 的餘式為： $$f(1)+g(1) = -1 + 5 = 4$$ (2) 因為 $f(x)$ 與 $g(x)$ 為實係數多項式，故其乘積 $f(x)g(x)$ 亦為實係數多項式且在實數域上連續。 我們分別檢驗： - 對於 $g(x)$：已知 $g(1)=5$ 且 $g(2)=-3$。由於 $g(1) \cdot g(2) = 5 \times (-3) = -15 < 0$，由勘根定理可知，在開區間 $(1,2)$ 內至少存在一個實根 $\alpha$ 使得 $g(\alpha) = 0$。 - 對於 $f(x)$：由 $f(x)$ 的餘式表示式，當 $x=2$ 時： $$f(2) = (2-1)(2-2)Q_1(2) + 3(2)-4 = 2$$ 因為 $f(1) = -1$ 且 $f(2) = 2$，兩者異號（$f(1) \cdot f(2) = -2 < 0$）。由勘根定理可知，在開區間 $(1,2)$ 內至少存在一個實根 $\beta$ 使得 $f(\beta) = 0$。 不論是 $g(\alpha)=0$ 或是 $f(\beta)=0$，皆使得 $f(x)g(x)=0$ 成立，故多項式方程式 $f(x)g(x)=0$ 在 $1$ 與 $2$ 之間必有實根。