105指考數學乙多選第4題詳解

1. 根據多項式除法原理，可設： $$f(x) = (x-5)(x-6)^2 Q(x) + 5x^2+6x+7$$ 其中 $Q(x)$ 為未知的實係數多項式（商式）。 2. 逐一分析各選項： 選項 $(1)$：$f(0) = (-5)(-6)^2 Q(0) + 7 = -180Q(0)+7$。因為 $Q(0)$ 未知，所以無法求出 $f(0)$ 之值。故錯誤。 選項 $(2)$：$f(11) = (6)(5)^2 Q(11) + 5\cdot 121+6\cdot 11+7 = 150Q(11)+678$。因為 $Q(11)$ 未知，所以無法求出 $f(11)$ 之值。故錯誤。 選項 $(3)$：要求 $f(x)$ 除以 $(x-5)^2$ 的餘式。因為 $(x-5)(x-6)^2 Q(x)$ 只含一個 $(x-5)$ 因式，不一定含有 $(x-5)^2$ 因式，所以此項除以 $(x-5)^2$ 的餘式會依賴未知的 $Q(x)$，無法唯一決定。故錯誤。 選項 $(4)$：因為 $(x-5)(x-6)^2 Q(x)$ 是 $(x-6)^2$ 的倍式，所以 $f(x)$ 除以 $(x-6)^2$ 的餘式等於 $5x^2+6x+7$ 除以 $(x-6)^2$ 的餘式： $$5x^2+6x+7 = 5(x^2-12x+36)+66x-173 = 5(x-6)^2+(66x-173)$$ 所以餘式為 $66x-173$，可唯一求出。故正確。 選項 $(5)$：因為 $(x-5)(x-6)^2 Q(x) = (x-5)(x-6)[(x-6)Q(x)]$ 是 $(x-5)(x-6)$ 的倍式，所以 $f(x)$ 除以 $(x-5)(x-6)$ 的餘式等於 $5x^2+6x+7$ 除以 $(x-5)(x-6)=x^2-11x+30$ 的餘式： $$5x^2+6x+7 = 5(x^2-11x+30)+61x-143 = 5(x-5)(x-6)+(61x-143)$$ 所以餘式為 $61x-143$，可唯一求出。故正確。 綜合以上，正確選項為 $(4)(5)$。