97指考數學乙多選第5題詳解

根據除法原理，多項式 $x^3 + 3x^2 + 4x + 2$ 除以 $f(x)$ 其餘式為 $3x + 2$，表示： $$(x^3 + 3x^2 + 4x + 2) - (3x + 2) = x^3 + 3x^2 + x = x(x^2 + 3x + 1)$$ 可以被 $f(x)$ 整除。由於 $f(x) = x^2 + ax + b$ 為二次且首項係數為 $1$，因此 $$f(x) = x^2 + 3x + 1$$ 故 $a = 3, b = 1$。 用第二個條件驗算： $$x^3 + x^2 - x - 1 = (x^2 + 3x + 1)(x - 2) + (4x + 1)$$ 其餘式確實為 $4x + 1$，符合題意。 逐一檢驗各選項： (1) 正確：$a = 3$。 (2) 錯誤：$b = 1$，不是 $-1$。 (3) 錯誤：方程式 $f(x) = x^2 + 3x + 1 = 0$ 的判別式為 $3^2 - 4 = 5 > 0$，有兩相異實根。 (4) 錯誤： $$f\left(-\dfrac{3}{2}\right) = \left(-\dfrac{3}{2}\right)^2 + 3\left(-\dfrac{3}{2}\right) + 1 = -\dfrac{5}{4}$$ 因此極小值不是 $\dfrac{5}{4}$。 (5) 正確：根據餘式定理，$f(x)$ 除以 $(x + 3)$ 的餘式為 $$f(-3) = (-3)^2 + 3(-3) + 1 = 1$$ 故正確選項為 $(1)(5)$。