96指考數學甲多選第6題詳解

題設中的 $a\ne0$ 表示 $a$ 不等於 $0$，因為後兩式含有 $x/a$。原方程組共有四個方程式，代表三維空間中的四個平面。我們可以將前兩個與後兩個方程式分別表示成空間中兩條直線的對稱比例式。 前兩式為直線 $L_1$： $$\frac{x-3}{2} = \frac{y-5}{3} = z - 4$$ 令其等於參數 $t$，可得其參數式為： $$L_1: \begin{cases} x = 2t + 3 \\ y = 3t + 5 \\ z = t + 4 \end{cases} \ (t \in \mathbb{R})$$ 後兩式為直線 $L_2$（因為 $a\ne 0$）： $$\frac{x}{a} = \frac{y+1}{3} = z - 2$$ 令其等於參數 $s$，可得其參數式為： $$L_2: \begin{cases} x = as \\ y = 3s - 1 \\ z = s + 2 \end{cases} \ (s \in \mathbb{R})$$ 因為原方程組有解，所以它等價於空間中這兩條直線 $L_1$ 與 $L_2$ 相交。設交點對應的參數為 $t$ 與 $s$： - 由 $y$ 坐標相等： $3t + 5 = 3s - 1 \implies 3s - 3t = 6 \implies s - t = 2 \implies s = t + 2$ - 由 $z$ 坐標相等： $t + 4 = s + 2 \implies s = t + 2$（與 $y$ 坐標所求一致） - 由 $x$ 坐標相等： $2t + 3 = as = a(t+2)$。 $(1)$ 錯誤。若 $a = 2$，則 $2t + 3 = 2(t+2) \implies 2t + 3 = 2t + 4 \implies 3 = 4$，無解。因此為使方程組有解， $a$ 絕對不能為 $2$。 $(2)$ 正確。因為 $a\ne 2$，由 $2t + 3 = a(t+2)$ 可以解得唯一的 $t = \frac{2a-3}{2-a}$。代入可求得唯一的交點 $(x, y, z)$，故原方程組有唯一解。 $(3)$ 正確。此方程組只包含兩個三元一次方程式，代表空間中兩個平面。因為兩平面之法向量分別為 $(3, -2, 0)$ 與 $(1, 0, -a)$，兩向量不平行（安排為 $a\ne 0$），故兩平面相交於一直線，該直線上有無窮多個點，即有無窮多解。 $(4)$ 錯誤。同 (3) 的道理，此方程組包含兩個平面的方程式，法向量為 $(1, 0, -a)$ 與 $(0, 1, -3)$，兩者不平行，故相交於一直線，有無窮多解而非唯一解。 $(5)$ 正確。此方程組亦僅代表空間中兩個平面相交，法向量為 $(3, -2, 0)$ 與 $(0, 1, -3)$，兩者不平行，故有無窮多解。 故正確選項為 $(2)(3)(5)$。