113學測數學A單選第3題詳解

1. 因為 $y=f(x)$ 的圖形與 $x$ 軸交於三點，代表 $f(x)$ 有三個相異實根，而它們成首項 $-7$、公差 $a$ 的等差數列，所以三根為 $-7$、$-7+a$、$-7+2a$。 2. 因為 $f(x)$ 的最高次項係數為 $a$，所以可寫成 $$f(x)=a(x+7)\left(x+7-a\right)\left(x+7-2a\right).$$ 3. 代入 $x=0$，所以 $$f(0)=7a(7-a)(7-2a).$$ 4. 逐一代入 $a$ 的六個可能值： $a=-6$ 時，$f(0)=7(-6)(13)(19)<0$。 $a=-4$ 時，$f(0)=7(-4)(11)(15)<0$。 $a=-2$ 時，$f(0)=7(-2)(9)(11)<0$。 $a=2$ 時，$f(0)=7(2)(5)(3)=210>0$。 $a=4$ 時，$f(0)=7(4)(3)(-1)<0$。 $a=6$ 時，$f(0)=7(6)(1)(-5)<0$。 5. 因為只有 $a=2$ 使 $f(0)>0$，所以符合條件的 $a$ 共 $1$ 個。 故選 $(1)$。