115分科測驗數學甲單選第2題詳解

1. 因為 $a_1+a_2+a_3+\cdots$ 是首項 $1$、公比 $r$ 的無窮等比級數，所以它收斂的條件是 $|r|<1$，且和為 $\frac{1}{1-r}$。 2. 因為 $a_1+a_3+a_5+\cdots$ 的首項為 $1$、公比為 $r^2$，所以它的和為 $\frac{1}{1-r^2}$，而收斂條件 $|r^2|<1$ 已被 $|r|<1$ 涵蓋。 3. 因為兩級數的乘積為 $1$，所以 $\frac{1}{1-r}\cdot\frac{1}{1-r^2}=1$，即 $(1-r)(1-r^2)=1$。 4. 展開左式得 $1-r-r^2+r^3=1$，所以 $r^3-r^2-r=0$，即 $r(r^2-r-1)=0$。 5. 因為題目給定 $r$ 為非零實數，所以 $r^2-r-1=0$，由公式解得 $r=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$。 6. 因為 $\sqrt{5}>2$，所以 $\frac{1+\sqrt{5}}{2}>\frac{3}{2}>1$，不滿足收斂條件；又因為 $2<\sqrt{5}<3$，所以 $\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ 介於 $-1$ 與 $0$ 之間，滿足 $|r|<1$。 故選 $(4)$。