105學測數學單選第6題詳解

1. 設首項為 $a_1$、公比為 $r$。因為前十項可拆成五個奇數項與五個偶數項，所以 $$S_{10}=\left(a_1+a_3+a_5+a_7+a_9\right)+\left(a_2+a_4+a_6+a_8+a_{10}\right).$$ 2. 因為每個偶數項都是前一個奇數項乘以 $r$，所以偶數項之和等於奇數項之和的 $r$ 倍，得 $$80=120+120r\implies 120r=-40\implies r=-\dfrac{1}{3}.$$ 3. 因為五個奇數項本身是首項 $a_1$、公比 $r^2=\frac{1}{9}$ 的等比數列，所以由等比級數和公式 $$a_1\cdot\dfrac{1-\left(\frac{1}{9}\right)^5}{1-\frac{1}{9}}=120.$$ 4. 因為 $\left(\frac{1}{9}\right)^5=\frac{1}{59049}$，分子為 $\frac{59048}{59049}$、分母為 $\frac{8}{9}$，所以 $$a_1\cdot\dfrac{59048}{59049}\cdot\dfrac{9}{8}=120\implies a_1\cdot\dfrac{7381}{6561}=120.$$ 因此 $a_1=120\times\frac{6561}{7381}=\frac{787320}{7381}$。 判斷範圍：因為 $100\times 7381=738100<787320$，所以 $a_1>100$；又因為 $110\times 7381=811910>787320$，所以 $a_1<110$。 故 $100\le a_1<110$，選 $(4)$。