105學測數學多選第7題詳解

先掌握兩個關鍵函數的值域。因為由三角不等式 $$|x|+|x-5|=|x|+|5-x|\ge|x+5-x|=5,$$ 所以 $|x|+|x-5|$ 的最小值為 $5$。又令 $f(x)=|x|-|x-5|$，分段討論可得： 當 $x\ge 5$ 時 $f(x)=x-(x-5)=5$。 當 $0\le x<5$ 時 $f(x)=x-(5-x)=2x-5$，其值介於 $-5$ 與 $5$ 之間。 當 $x<0$ 時 $f(x)=-x-(5-x)=-5$。 因此 $f$ 的值域為 $-5\le f(x)\le 5$。 選項 $(1)$：$|x|+|x-5|=1$。因為左式最小值為 $5$ 而 $1<5$，所以無實數解。 選項 $(2)$：$|x|+|x-5|=6$。因為 $6\ge 5$ 落在值域內，所以有實數解，例如 $x=5.5$ 時左式為 $5.5+0.5=6$。 選項 $(3)$：$|x|-|x-5|=1$。因為 $1$ 落在 $f$ 的值域內，所以有實數解；由 $2x-5=1$ 解得 $x=3$。 選項 $(4)$：$|x|-|x-5|=6$。因為 $f$ 的最大值為 $5$ 而 $6>5$，所以無實數解。 選項 $(5)$：$|x|-|x-5|=-1$。因為 $-1$ 落在 $f$ 的值域內，所以有實數解；由 $2x-5=-1$ 解得 $x=2$。 故選 $(2)(3)(5)$。