115分科測驗數學甲單選第1題詳解

1. 因為圖中粗灰線橢圓的 $y$ 截距為 $\pm 5$、$x$ 截距遠小於 $5$，所以長軸落在 $y$ 軸上，也就是 $b>a$ 且 $b=5$。 2. 因為粗黑線由左右兩支組成、開口朝 $x$ 軸的正負方向，所以它是中心在原點、貫軸在 $x$ 軸上的雙曲線，方程式必為 $\frac{x^2}{(\text{正數})^2}-\frac{y^2}{(\text{正數})^2}=1$ 的形式。 3. 因為粗黑線的兩個頂點落在 $(\pm 5,0)$，而 $b=5$，所以貫軸的半長恰為 $b$，方程式為 $\frac{x^2}{b^2}-\frac{y^2}{a^2}=1$。 4. 逐一檢視其餘選項： $(1)$ 右式為 $1$ 且兩項同號，圖形是橢圓不是雙曲線。 $(2)$ 的 $x^2$ 分母為 $a^2$，頂點會落在 $(\pm a,0)$，但 $a$ 遠小於 $5$，與圖不符。 $(3)$ 與 $(5)$ 的右式為 $-1$，貫軸會落在 $y$ 軸上，開口朝上下，也與圖不符。 故選 $(4)$。