96學測數學單選第4題詳解

第一條曲線為橢圓： $$\Gamma_1: \dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$$ 其中心在 $(0,0)$，長軸在 $x$ 軸上，長半軸 $a=3$，短半軸 $b=2$，其實數 $x$ 的範圍為 $-3 \le x \le 3$。右頂點為 $(3, 0)$。 第二條曲線為雙曲線： $$\Gamma_2: \dfrac{(x+1)^2}{16} - \dfrac{y^2}{9} = 1$$ 其中心在 $(-1,0)$，左右開口，左右頂點為 $(-1+4, 0) = (3, 0)$ 以及 $(-1-4, 0) = (-5, 0)$，實數 $x$ 的範圍為 $x \ge 3$ 或 $x \le -5$。 比較兩曲線的定義域： - 當 $x \le -5$ 時，橢圓 $\Gamma_1$ 無圖形。 - 當 $-3 \le x < 3$ 時，雙曲線 $\Gamma_2$ 無圖形。 - 當 $x = 3$ 時，橢圓與雙曲線皆通過點 $(3, 0)$。 - 當 $x > 3$ 時，橢圓 $\Gamma_1$ 無圖形。 因此，兩圖形唯一的交點為 $(3, 0)$，共 $1$ 個交點。 故選 $(1)$。