115分科測驗數學甲多選第6題詳解

因為表中列出 $f(x)$、$f'(x)$、$f''(x)$ 在三個開區間上的正負，所以可以直接判讀圖形性質：$f'(x)>0$ 表示遞增、$f'(x)<0$ 表示遞減；$f''(x)>0$ 表示凹口向上、$f''(x)<0$ 表示凹口向下。 1. 選項 $(1)$ 說在開區間 $(4,5)$ 上 $y=f(x)$ 遞增且圖形凹口向上。因為表中 $(4,5)$ 這一行的 $f'(x)$ 為正，所以確實遞增；但 $f''(x)$ 為負，所以凹口向下而非向上，$(1)$ 錯誤。 2. 選項 $(2)$ 說在閉區間 $[5,6]$ 上圖形有反曲點。因為 $f(x)$ 是多項式，$f''(x)$ 處處連續，而 $f''(x)$ 在 $(4,5)$ 為負、在 $(6,7)$ 為正，所以由勘根定理知 $f''(x)$ 在 $5$ 與 $6$ 之間必有零點，且在該點左右變號，$(2)$ 正確。 3. 選項 $(3)$ 說 $\int_2^3 f(x)\,dx<M_2^3(f)$。因為 $M$ 取的是每個分段左端點的函數值，而在 $(2,3)$ 上 $f'(x)<0$ 表示 $f$ 遞減，所以每一段的左端點函數值都大於該段其餘各點的函數值，三個矩形合起來高估了定積分，$(3)$ 正確。 4. 選項 $(4)$ 說 $\int_4^5 f(x)\,dx>N_4^5(f)$。因為在 $(4,5)$ 上 $f'(x)>0$ 表示 $f$ 遞增，所以每一段的右端點函數值最大，右端點黎曼和同樣高估定積分，正確的關係是 $\int_4^5 f(x)\,dx<N_4^5(f)$，$(4)$ 錯誤。 5. 選項 $(5)$ 說 $\int_6^7 f(x)\,dx>\frac{1}{2}\left(M_6^7(f)+N_6^7(f)\right)$。因為左端點和與右端點和取平均恰是梯形法，而在 $(6,7)$ 上 $f''(x)>0$ 表示凹口向上，圖形位在每段兩端點連線（弦）的下方，所以梯形法高估定積分，正確的關係是 $\int_6^7 f(x)\,dx<\frac{1}{2}\left(M_6^7(f)+N_6^7(f)\right)$，$(5)$ 錯誤。 故選 $(2)(3)$。